αξίωμα

αξίωμα
(Μαθημ.)Κάθε μαθηματική θεωρία κατασκευάζεται κατά τον ακόλουθο τρόπο: αναχωρεί κανείς από ένα σύνολο αφηρημένων στοιχείων, τα οποία είναι υποχρεωμένα να ικανοποιούν ορισμένες ιδιότητες που ονομάζονται α. της θεωρίας και οι οποίες χαρακτηρίζουν αυτά καθαυτά τα στοιχεία· από τα α. αυτά συνάγονται όλες οι δυνατές λογικές συνέπειες. To σύνολο αυτών των λογικών συνεπειών συνιστά ακριβώς τη μαθηματική θεωρία, τη σχετική με τα α. που έχουν τεθεί. Κλασικό παράδειγμα, που φωτίζει τα προηγούμενα, είναι εκείνο της ευκλείδειας γεωμετρίας του επιπέδου. To σημείο και η ευθεία είναι τα θεμελιώδη στοιχεία της επίπεδης γεωμετρίας· οι στοιχειώδεις ιδιότητες, τις οποίες ικανοποιούν τα στοιχεία αυτά, είναι τα γνωστά α. της ευκλείδειας γεωμετρίας: από δύο σημεία διέρχεται ακριβώς μία ευθεία, η ευθεία μπορεί να προεκταθεί απεριόριστα και προς τα δύο μέρη, δύο ευθείες –του επιπέδου– είτε τέμνονται σε ένα σημείο είτε δεν τέμνονται (και τότε ονομάζονται παράλληλες), από ένα σημείο διέρχεται ακριβώς μία παράλληλη προς μία δεδομένη ευθεία κλπ. Με βάση τα α. αυτά διαπιστώνονται, με κατάλληλους συλλογισμούς, άλλες ιδιότητες (θεωρήματα) λιγότερο προφανείς και απλές. To σύνολο όλων αυτών των λογικών συνεπειών συνιστά την επίπεδη ευκλείδεια γεωμετρία. Αξίζει να παρατηρηθεί ότι στο προηγούμενο παράδειγμα μπορεί στην ουσία να γίνει αφαίρεση από τα ειδικά θεμελιώδη στοιχεία (σημεία, ευθείες), με την έννοια ότι αν ένα άλλο σύνολο στοιχείων (που δεν είναι σημεία και ευθείες, αλλά άλλης φύσης) ικανοποιεί τα προηγούμενα α., τότε γι’ αυτό το νέο σύνολο θα ισχύουν τα ίδια θεωρήματα που ισχύουν στην ευκλείδεια γεωμετρία, τροποποιημένα μόνο κατά τη γλωσσική διατύπωση. Από το γεγονός αυτό προκύπτει η μεγάλη ωφέλεια της αξιωματικής μεθόδου, εφόσον μία ορισμένη μαθηματική θεωρία είναι δυνατόν να εφαρμοστεί στην πράξη σε διάφορα σύνολα αντικειμένων, αρκεί να ικανοποιούνται τα ίδια α. Το συμπέρασμα είναι ότι μια μαθηματική θεωρία δεν είναι τίποτε άλλο από ένα υποθετικό-παραγωγικό σύστημα, δηλαδή το σύνολο των λογικών συνεπειών που προκύπτουν από ένα οποιοδήποτε σύστημα α. σε αφηρημένα στοιχεία. Ο μόνος περιορισμός που τίθεται είναι τα α. αυτά να είναι συμβιβαστά, δηλαδή να μην είναι αντιφατικά μεταξύ τους και επιπλέον ανεξάρτητα το ένα από το άλλο, με την έννοια ότι δεν συμβαίνει κάποιο από αυτά να είναι συνέπεια των υπολοίπων. Η έννοια του α. και ο ρόλος των α. στα μαθηματικά αποσαφηνίστηκαν μόλις κατά τον 19o αι. και τις αρχές του 20ού, χάρη στις σχετικές εργασίες των Φρέγκε, Πεάνο, Χίλμπερτ και Ράσελ. Ένα αποφασιστικό βήμα προς αυτή την κατεύθυνση υπήρξε η ανακάλυψη ότι συχνά είναι δυνατόν να αντικαταστήσουμε ένα α. μιας μαθηματικής θεωρίας με άλλο α., αντίθετο του προηγούμενου, χωρίς το νέο αυτό α. να συγκρούεται (να μην είναι συμβιβαστό) με τα υπόλοιπα. Με τον τρόπο αυτό παίρνουμε μια άλλη μαθηματική θεωρία, που οι βασικές της έννοιες πρέπει να θεωρούνται διαφορετικές από εκείνες της θεωρίας από την οποία ξεκινήσαμε. Για παράδειγμα, αν στην ευκλείδεια γεωμετρία αντικαταστήσουμε το α. (αίτημα του Ευκλείδη) «από κάθε σημείο εκτός ευθείας άγεται ακριβώς μία παράλληλη προς αυτή», με το α. «από κάθε σημείο εκτός ευθείας άγονται δύο τουλάχιστον παράλληλοι προς αυτή», παίρνουμε μία άλλη (μη ευκλείδεια) γεωμετρία (των Λομπατσέφσκι – Μπόλιε). Είναι δυνατόν να γίνουν και άλλες τροποποιήσεις στην ευκλείδεια γεωμετρία και να προκύψουν έτσι άλλες, μη ευκλείδειες γεωμετρίες. Από λογική άποψη, καμία από τις γεωμετρίες αυτές δεν είναι περισσότερο προτιμητέα από τις άλλες· η προτίμηση μίας αντί μίας άλλης είναι θέμα εξυπηρέτησης, όπως απέδειξε ο Ζιλ Ανρί Πουανκαρέ. Πρέπει να σημειωθεί ότι παλαιότερα γινόταν διάκριση μεταξύ των όρων α. και αίτημα. Σήμερα, οι δύο όροι χρησιμοποιούνται διεθνώς χωρίς διαφορά.
* * *
το (AM ἀξίωμα) [αξιώ]
1. ανώτερη θέση, βαθμός
2. (Λογ. -Μαθ.) αυταπόδεικτη αρχή, ό,τι λαμβάνεται ως βάση απόδειξης
αρχ.
1. φήμη, υπόληψη
«τὸ τῶν ἐλευθέρων γυναικῶν ἀξίωμα» (Δημοσθ.), «ἀξίωμα ἔχειν ἀρετῆς» — φήμη για την αρετή του (Αριστοτ.)
2. αξία, ποιότητα
«οὑ τῷ πλήθει ἀλλά τῷ ἀξιώματι» — όχι ως προς τον αριθμό αλλά ως προς την αξία (Θουκ.)
3. απόφαση («τὰ τῶν προγόνων ἀξιώματα», Δημοσθ.)
4. τιμή, αυτό για το οποίο θεωρείται άξιος κάποιος («τὸ τῆς πόλεως ἀξίωμα» — η τιμή του να αντιπροσωπεύει την πόλη, Δημοσθ.)
5. απαίτηση, αίτηση
6. θεωρία, φιλοσοφική άποψη («τὸ τοῡ Ζήνωνος ἀξίωμα», Αριστοτ.).

Dictionary of Greek. 2013.

Игры ⚽ Поможем написать курсовую

Look at other dictionaries:

  • ἀξίωμα — that of which one is thought worthy neut nom/voc/acc sg …   Greek morphological index (Ελληνική μορφολογικούς δείκτες)

  • αξίωμα — το, ατος 1. κάποια ανώτερη θέση στην κοινωνία ή την πολιτεία: Στη ζωή του είχε πάρει πολλά αξιώματα. 2. γνώμη με γενικό κύρος: Ως αξίωμά του είχε να περάσει άγνωστος τη ζωή του. 3. (μαθημ. λογ.), πρόταση φανερή από μόνη της, που δεν αποδείχνεται …   Νέο ερμηνευτικό λεξικό της νεοελληνικής γλώσσας (Новый толковании словарь современного греческого)

  • λογοθέτης — Αξίωμα της Βυζαντινής αυτοκρατορίας, που σχετιζόταν με τη διαχείριση των κρατικών υποθέσεων. Ο κυριότερος ήταν ο μέγας λ., αξίωμα ανάλογο με εκείνο του σημερινού πρωθυπουργού. Οι διάφοροι άλλοι λ. του Βυζαντίου ασκούσαν, ανάλογα με τον… …   Dictionary of Greek

  • γυμνασίαρχος — Αξίωμα στην αρχαία Ελλάδα, που αποκτούσαν οι πιο σημαντικοί και πλούσιοι πολίτες. Ο γ. ήταν επιφορτισμένος με την επίβλεψη των παιδιών και των εφήβων που γυμνάζονταν και εκπαιδεύονταν στους χώρους άσκησης, στα γυμνάσια και στις παλαίστρες.Το… …   Dictionary of Greek

  • καγκελάριος — Αξίωμα που πρωτοεμφανίστηκε στους ρωμαϊκούς χρόνους και κατά τον Μεσαίωνα υπήρξε αντίστοιχο του πρωθυπουργού (διατηρείται και σήμερα σε ορισμένες ευρωπαϊκές χώρες όπως η Γερμανία και η Αυστρία) ή του υπουργού Εξωτερικών. Βλ. λ. καγκελαρία. Στη… …   Dictionary of Greek

  • τἀξίωμ' — ἀξίωμα , ἀξίωμα that of which one is thought worthy neut nom/voc/acc sg ἀ̱ξίωμαι , ἀξιόω think perf ind mp 1st sg (doric aeolic) ἐξίωμι , ἔξειμι 2 sum pres subj act 1st sg (epic) ἐξίωμι , ἐξίημι send out pres subj act 1st sg (epic) ἐξίωμαι ,… …   Greek morphological index (Ελληνική μορφολογικούς δείκτες)

  • τἀξίωμα — ἀξίωμα , ἀξίωμα that of which one is thought worthy neut nom/voc/acc sg …   Greek morphological index (Ελληνική μορφολογικούς δείκτες)

  • ἀξίωμ' — ἀξίωμα , ἀξίωμα that of which one is thought worthy neut nom/voc/acc sg ἀ̱ξίωμαι , ἀξιόω think perf ind mp 1st sg (doric aeolic) …   Greek morphological index (Ελληνική μορφολογικούς δείκτες)

  • ἀξιωμάτων — ἀξίωμα that of which one is thought worthy neut gen pl …   Greek morphological index (Ελληνική μορφολογικούς δείκτες)

  • ἀξιώμασι — ἀξίωμα that of which one is thought worthy neut dat pl …   Greek morphological index (Ελληνική μορφολογικούς δείκτες)

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”